用 ChatGPT + NumPy 互動模擬蒙特卡羅：一鍵估算 π 值與圖形化教學

蒙特卡羅模擬的基本概念

蒙特卡羅模擬是一種強大的計算技術，透過隨機抽樣來建模並分析具有不確定性的複雜系統。該方法得名於摩納哥著名的蒙特卡羅賭場，象徵著機會與隨機性，廣泛應用於金融、工程、物理、經濟學與風險分析等領域。

在實作上，分析者會先建立一個數學模型，模型中包含可能變動的輸入變數。透過大量的隨機抽樣與模擬，每一次迭代代表系統的一種可能狀況。累積模擬結果後，即可估算系統的整體行為與結果分佈，特別適合處理具高度不確定性或無法解析求解的問題。

在 ChatGPT 中互動執行蒙特卡羅模擬

了解了蒙特卡羅模擬的基本概念後，我們不妨實際操作看看：你是否曾想過，不需要本機安裝 Python，只靠 ChatGPT 就能估算 π 值？現在，只要透過簡單的提示，結合 NumPy 與 Matplotlib，你就能在 ChatGPT 中互動式執行蒙特卡羅模擬，並即時視覺化 10,000 個隨機點在單位圓中的分布情況，甚至繪製收斂圖，觀察 π 值如何隨樣本數趨近真實值。這樣的互動模擬方式不僅提升學習體驗，更適合用於教學演示、實驗引導，或作為數值分析的入門練習。

ChatGPT 能幫你即時執行程式、顯示結果，甚至動態繪圖。這種方式特別適合：快速試驗不同樣本數對估算結果的影響，以及教學展示與課堂互動示範。透過這種互動式的學習方法，你可以直觀地理解蒙特卡羅模擬的原理，並探索如何優化算法以在精度和效率之間取得平衡。無論你是數據分析新手、教育工作者，還是 AI 工具愛好者，這種方法都能為你提供一個輕量級且高效的學習和實驗平台。

🔍 提示語（Prompt）設計範例

基本範例

ChatGPT Numpy Monte Carlo

你可以直接輸入以下程式碼，讓 ChatGPT 即時分析並執行：

幫我用 Python 和 NumPy 實作蒙特卡羅方法估算 π 值，以下是程式碼，請直接執行：

import numpy as np

n = 1000000
np.random.seed(42)
x = np.random.uniform(-1, 1, n)
y = np.random.uniform(-1, 1, n)
inside = (x**2 + y**2) <= 1

pi_estimate = 4 * np.sum(inside) / n
pi_estimate

然後你就會看見 ChatGPT 即時分析程式碼，並顯示結果：

估算出的 π 值為 3.139892，這個結果非常接近真實值 3.141592…，顯示使用 NumPy 執行蒙特卡羅模擬在大量樣本下具有不錯的準確度。若你想提升精確度，可以增加 n 的值（樣本數）。需要我幫你加上可視化圖表嗎？

ChatGPT 蒙特卡羅模擬範例

在 ChatGPT 中，你不僅可以使用 Python 撰寫簡單的蒙特卡羅模擬程式碼估算 π 值，還能透過更具挑戰性的提示來延伸這個模擬的深度與可視化呈現。

你也可以透過設計更有挑戰性的提示來探索蒙特卡羅模擬的變化，例如：

ChatGPT Monte Carlo Estimation Of Pi

幫我用 Python 和 NumPy 實作蒙特卡羅方法估算 π 值，並可視化 10,000 個點中哪些落在圓內、哪些在圓外。

或是進階一點：

Monte Carlo Estimation Of PI - Convergence Visualization

用 ChatGPT 的 Python 執行功能幫我模擬 π 值估算，並畫出收斂圖（π 值與樣本數變化的關係）。

這類提示不僅能展示蒙特卡羅模擬的統計基礎，也適合用於教學或演示，讓抽象的數學概念透過直觀圖像化轉化為可理解的學習體驗。

💡 延伸玩法

ChatGPT 可以幫助你進行以下延伸實驗與探索：精度與效率分析（執行多次蒙特卡羅模擬，比較不同樣本數的精確度和執行時間）、可視化結果（使用 matplotlib 繪製散點圖，顯示落在圓內和圓外的點）、自適應採樣（實現能根據當前估算結果的穩定性自動調整採樣數量的改進版算法）、以及多維度擴展（將二維圓的π值估算擴展到三維球體的體積估算）。這些實驗有助於深入理解蒙特卡羅方法的原理、優化算法效率，並探索其在高維空間中的應用潛力。

蒙特卡羅模擬的工作流程

蒙特卡羅模擬的工作流程通常包括定義問題和目標、確定輸入變量及其分佈、創建模擬模型、運行大量迭代、分析結果並進行敏感性分析。這個過程允許我們通過隨機抽樣來模擬複雜系統的行為，從而得出統計上有意義的結論，特別適用於處理具有高度不確定性的問題。

蒙特卡羅模擬通常遵循以下步驟：

定義問題與設定目標：確定要分析的專案方面，如成本、進度或績效，並為分析建立特定目標。
確定輸入變量及其分佈：這些變量可能包括任務持續時間、成本、資源可用性以及與專案風險相關的不確定性。還必須定義每個風險的概率和影響評分。
創建蒙特卡羅模擬模型：一旦確定了輸入變量及其分佈，可以使用專業軟體或工具創建蒙特卡羅模擬模型，這些工具可能包括電子表格、統計軟體包或專用的蒙特卡羅模擬軟體。
運行模擬並分析結果：模擬運行後，結果可以用來了解專案的可能結果範圍。
驗證和細化模型：最後，必須通過將模擬結果與實際專案數據或類似專案的歷史數據進行比較，以確保模型準確地表示專案的複雜性和不確定性。

如何用蒙特卡羅方法估算 π 值

Matplotlib Monte Carlo Esitmation Of Pi (Calpa Liu)

使用蒙特卡羅方法估算 π 值是蒙特卡羅方法的一個經典應用。其基本原理是：

在一個邊長為 2 的正方形（範圍為[-1,1]×[-1,1]）中畫一個半徑為 1 的圓
在正方形內隨機投擲大量點
計算落在圓內的點數佔總點數的比例
這個比例乘以 4 即為π的估計值

這是因為圓的面積為πr²，而正方形的面積為 4r²（其中 r=1），所以圓與正方形面積之比為π/4。通過蒙特卡羅方法，我們用落在圓內的點數與總點數之比來近似這個面積比。

用 NumPy 高效實作蒙特卡羅模擬

Python (Calpa Liu)

NumPy 是 Python 科學計算的基礎庫，為處理大型多維數組提供了高效的工具。在蒙特卡羅模擬中，NumPy 的優勢尤為明顯。

使用 NumPy 實現蒙特卡羅法估算π值的完整示例

以下是一個使用 NumPy 實現蒙特卡羅方法估算π值的完整示例，包括可視化。這個示例展示了如何利用 NumPy 的高效數組操作來生成大量隨機點，計算它們是否落在單位圓內，並最終估算出π值。同時，我們還使用 Matplotlib 來視覺化這個過程，直觀地展示了蒙特卡羅方法的工作原理。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib

# 使用默認英文字體並允許負號顯示
matplotlib.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 模擬點的數量
n = 1000000

# 設置隨機種子以確保結果可重現
np.random.seed(42)

# 在 [-1, 1] x [-1, 1] 範圍內生成隨機點
points = np.random.uniform(-1, 1, (n, 2))

# 計算每個點到原點的距離
distances = np.sqrt(points[:, 0]**2 + points[:, 1]**2)

# 判斷點是否在單位圓內
inside_circle = distances <= 1

# 估算π值
pi_estimate = 4 * np.sum(inside_circle) / n

# 可視化（為了清晰起見，只繪製前 10000 個點）
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.scatter(points[inside_circle][:10000, 0], points[inside_circle][:10000, 1], 
            color='green', s=1, label='Inside Circle')
plt.scatter(points[~inside_circle][:10000, 0], points[~inside_circle][:10000, 1], 
            color='red', s=1, label='Outside Circle')

# 繪製單位圓邊界
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200)
plt.plot(np.cos(theta), np.sin(theta), color='green')

# 顯示標題和圖例
plt.title(f'Monte Carlo Estimation of π: {pi_estimate:.8f}, Actual π: {np.pi:.8f}')
plt.axis('equal')
plt.xlim(-1, 1)
plt.ylim(-1, 1)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

這段代碼不僅計算了π的估計值，還通過散點圖直觀地展示了蒙特卡羅方法的原理。

NumPy 與蒙特卡羅方法的優勢

計算效率

NumPy 的向量化操作極大地提升了蒙特卡羅模擬的效率。透過利用底層優化和並行處理能力，NumPy 能夠同時處理大量數據點，而無需使用耗時的 Python 循環。這種方法特別適合蒙特卡羅模擬，因為它們通常需要處理大量的隨機樣本。

相較於傳統的純 Python 實現，NumPy 的向量化操作可以將計算速度提高數十倍，甚至更多。這種顯著的性能提升使得更大規模和更複雜的蒙特卡羅模擬成為可能，從而提高了估算的精度和可靠性。對於需要進行大量迭代或處理海量數據的應用場景，NumPy 的高效計算能力尤為重要。

代碼簡潔性

使用 NumPy 進行蒙特卡羅模擬，可以用極少的代碼實現複雜的計算。例如，估算π值的核心代碼只需要幾行：

points = np.random.rand(n, 2)
inside_circle = np.sqrt(points[:, 0]**2 + points[:, 1]**2) < 1
pi_estimate = 4 * np.sum(inside_circle) / n

精度控制與提升

透過增加抽樣點數，蒙特卡羅方法的精度可以持續提高。根據大數定律，估計值會隨著樣本數的增加而更接近真實值。

使用 NumPy 還可以實現更複雜的隨機數生成策略，例如使用不同的隨機種子來減少隨機數序列之間的相關性：

# 使用兩個獨立的 RandomState 以減少 x 和 y 座標間的相關性
rng_x = np.random.RandomState(42)
rng_y = np.random.RandomState(123)

x = rng_x.uniform(-1, 1, n)
y = rng_y.uniform(-1, 1, n)

inside_circle = (x**2 + y**2) <= 1
pi_estimate = 4 * np.sum(inside_circle) / n